想必现在有很多小伙伴对于如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，动点$P$从点$A$出发，沿$AC-CB$以每秒$5$个单位长度的速度向终点$C$运动，过点$P$作$PQ\bot AB$于点$Q$，将线段$PQ$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$PR$，连结$QR$.设点$P$的运动时间为$t$秒$\left(t \gt 0\right)$.$(1)$线段$AP$的长为______(用含$t$的代数式表示)。$(2)$当点$P$与点$C$重合时，求$t$的值.$(3)$当$C$、$R$、$Q$三点共线时，求$t$的值.$(4)$当$\triangle CPR$为钝角三角形时，直接写出$t$的取值范围.","title_text":"如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，动点$P$从点$A$出发，沿$AC-CB$以每秒$5$个单位长度的速度向终点$C$运动，过点$P$作$PQ\bot AB$于点$Q$，将线段$PQ$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$PR$，连结$QR$.设点$P$的运动时间为$t$秒$\left(t \gt 0\right)$.$(1)$线段$AP$的长为______(用含$t$的代数式表示)。$(2)$当点$P$与点$C$重合时，求$t$的值.$(3)$当$C$、$R$、$Q$三点共线时，求$t$的值.$(4)$当$\triangle CPR$为钝角三角形时，直接写出$t$的取值范围.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，动点$P$从点$A$出发，沿$AC-CB$以每秒$5$个单位长度的速度向终点$C$运动，过点$P$作$PQ\bot AB$于点$Q$，将线段$PQ$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$PR$，连结$QR$.设点$P$的运动时间为$t$秒$\left(t \gt 0\right)$.$(1)$线段$AP$的长为______(用含$t$的代数式表示)。$(2)$当点$P$与点$C$重合时，求$t$的值.$(3)$当$C$、$R$、$Q$三点共线时，求$t$的值.$(4)$当$\triangle CPR$为钝角三角形时，直接写出$t$的取值范围.","title_text":"如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=4$，$BC=3$，动点$P$从点$A$出发，沿$AC-CB$以每秒$5$个单位长度的速度向终点$C$运动，过点$P$作$PQ\bot AB$于点$Q$，将线段$PQ$绕点$P$逆时针旋转$90^{\circ}$得到线段$PR$，连结$QR$.设点$P$的运动时间为$t$秒$\left(t \gt 0\right)$.$(1)$线段$AP$的长为______(用含$t$的代数式表示)。$(2)$当点$P$与点$C$重合时，求$t$的值.$(3)$当$C$、$R$、$Q$三点共线时，求$t$的值.$(4)$当$\triangle CPR$为钝角三角形时，直接写出$t$的取值范围.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。

$left(1right)because $点$P$的运动速度为每秒$5$个单位，$therefore AP=5t$，故答案为：$5t$；$(2)$当点$P$与点$C$重合时。

则$5t=3$，$therefore t=frac{3}{5}$；$(3)because angle ACB=90^{circ}$，$BC=4$。

$AC=3$，$therefore AB=5$，$therefore sin A=frac{BC}{AB}=frac{3}{5}$。

$tan A=frac{BC}{AC}=frac{3}{4}$，$therefore tan A=frac{PQ}{AQ}=frac{3}{4}$，又由旋转的性质知。

$PQ=PR$，当$C$、$R$、$Q$三点共线时，如图。

$because angle RPQ=angle AQP=90^{circ}$，$therefore PR$∥$AQ$，$therefore triangle CPR$∽$triangle CAQ$。

$therefore frac{PR}{AQ}=frac{CP}{AC}$，即$frac{PQ}{AQ}=frac{CP}{AC}=frac{3}{4}$，$because AP=5t$。

$AC=4$，$therefore CP=4-5t$，$therefore frac{4-5t}{4}=frac{3}{4}$。

$therefore t=frac{1}{5}$，$(4)$由旋转的性质知$PR$∥$AB$，$therefore angle CPR=angle A$。

$therefore angle CPR$不可能为钝角，若点$R$在$triangle ABC$内部，$angle ACR$也不可能为钝角。

①如图，过$C$作$CDbot AB$于$D$，当点$R$在$CD$上时。

$angle PRC=90^{circ}$，当点$R$在$CD$左边时，$angle CRP$都为钝角。

$because angle RPQ=angle PQD=angle CDA=90^{circ}$，$therefore $四边形$PQDR$为矩形，又$because PQ=PR$。

$therefore $四边形$PQDR$为正方形，$because AP=5t$，$sin angle A=frac{PQ}{AP}=frac{BC}{AB}=frac{3}{5}$。

$therefore PQ=3t$，$because tan ∠A=frac{PQ}{AQ}=frac{BC}{AC}=frac{3}{4}$，$therefore AQ=4t$。

$therefore PR=PQ=3t$，$because PR$∥$AB$，$therefore angle CPR=angle A$。

$angle PRC=angle AQP=90^{circ}$，$therefore triangle CPR$∽$triangle PAQ$，$therefore frac{CP}{PA}=frac{PR}{AQ}$。

$therefore frac{4-5t}{5t}=frac{3t}{4t}$，$therefore t=frac{16}{35}$，$therefore $当$0 lt t＜frac{16}{35}$时。

$angle PRC$为钝角，②如图，当点$R$在$BC$边上时。

$angle PCR=90^{circ}$，若点$R$在$triangle ABC$外，则$angle PCR$为钝角。

$because PR$∥$AB$，$therefore angle A=angle CPR$，又$because angle C=angle AQP=90^{circ}$。

$therefore triangle CPR$∽$triangle QAP$，$therefore frac{CP}{AQ}=frac{RP}{AP}$，$therefore AP=5t$。

$PQ=PR=3t$，$AQ=4t$，$therefore frac{4-5t}{4t}=frac{3t}{5t}$。

$therefore t=frac{20}{37}$，又$because $点$P$最多只能运动到点$C$，$therefore t≤frac{4}{5}$。

$therefore $当$frac{20}{37}＜t≤frac{4}{5}$时，$triangle PCR$为钝角三角形.综上所述：当$0 lt t＜frac{16}{35}$或$frac{20}{37}＜t≤frac{4}{5}$时，$triangle PCR$为钝角三角形.。

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