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如图$(O$是$\triangle ABC$是的外接圆$BC$为$ O$直径作$\angle CAD=\angle B$且点$D$在$BC$的延长线上.（1）求证直线$AD$是$ O$的切线；（2）若$\sin \angle CAD=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$$ O$的直径为$8$求$CD$长.","title_text":"如图$ O$是$\triangle ABC$是的外接圆$BC$为$ O$直径作$\angle CAD=\angle B$且点$D$在$BC$的延长线上.（1）求证直线$
2022-08-01 13:17:01 楼盘资讯 来源：
想必现在有很多小伙伴对于如图，$ O$是$\triangle ABC$是的外接圆，$BC$为$ O$直径，作$\angle CAD=\angle B$，且点$D$在$BC$的延长线上.（1）求证：直线$AD$是$ O$的切线；（2）若$\sin \angle CAD=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，$ O$的直径为$8$，求$CD$长.","title_text":"如图，$ O$是$\triangle ABC$是的外接圆，$BC$为$ O$直径，作$\angle CAD=\angle B$，且点$D$在$BC$的延长线上.（1）求证：直线$AD$是$ O$的切线；（2）若$\sin \angle CAD=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，$ O$的直径为$8$，求$CD$长.方面的知识都比较想要了解，那么今天小好小编就为大家收集了一些关于如图，$ O$是$\triangle ABC$是的外接圆，$BC$为$ O$直径，作$\angle CAD=\angle B$，且点$D$在$BC$的延长线上.（1）求证：直线$AD$是$ O$的切线；（2）若$\sin \angle CAD=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，$ O$的直径为$8$，求$CD$长.","title_text":"如图，$ O$是$\triangle ABC$是的外接圆，$BC$为$ O$直径，作$\angle CAD=\angle B$，且点$D$在$BC$的延长线上.（1）求证：直线$AD$是$ O$的切线；（2）若$\sin \angle CAD=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，$ O$的直径为$8$，求$CD$长.方面的知识分享给大家，希望大家会喜欢哦。
1、（1）证明：连结$OA$，如图$,$
2、$because BC$为$ O$直径，
3、$therefore angle BAC=90^{circ}$，即$angle BAO+angle CAO=90^{circ}$，
4、$because OA=OB$，
5、$therefore angle B=angle BAO$，
6、而$angle CAD=angle B$，
7、$therefore angle BAO=angle CAD$，
8、$therefore angle CAD+angle CAO=90^{circ}$，即$angle OAD=90^{circ}$，
9、$therefore OAbot AD$，
10、$therefore $直线$AD$是$ O$的切线；
11、（2）在$Rttriangle ABC$中，$sin B=sin angle CAD=dfrac{sqrt{2}}{4}$，
12、而$sin B=dfrac{AC}{BC}$，$BC=8$，
13、$therefore AC=2sqrt{2}$，
14、$therefore AB=sqrt{BC^{2}-AC^{2}}=2sqrt{14}$，
15、$because angle CAD=angle B$，
16、$therefore triangle DAC$∽$triangle DBA$，
17、$therefore dfrac{CD}{AD}=dfrac{AC}{AB}=dfrac{2sqrt{2}}{2sqrt{14}}=dfrac{1}{sqrt{7}}$，即$AD=sqrt{7}CD$，
18、在$Rttriangle OAD$中，$OA=OC=4$，
19、$because OA^{2}+AD^{2}=OD^{2}$，
20、$therefore 4^{2}+left(sqrt{7}CDright)^{2}=left(4+CDright)^{2}$，
21、$therefore CD=dfrac{4}{3}$.
本文到此结束，希望对大家有所帮助。
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